現代経済学応用：第４回講義ノート
2012年5月1日 火・３［新］現代経済学応用A［旧］ミクロ経済学A
第４回 戦略形ゲーム（３）定和ゲームの解とミニマックス定理
＜今日の内容＞
１ 今日の問題意識
２ マックスミニ，ミニマックス，ゲーム値
３ 混合戦略とミニマックス定理
１ 今日の問題意識
●定和ゲーム（Constant-Sum Game）
●ゼロ和ゲーム（Zero-Sum Game）
■Q. ジャンケンや例3.1，練習問題3.1，例4.1のような「ゼロ和ゲーム」での解は？
２ マックスミニ，ミニマックス，ゲーム値
●マックスミニ戦略とマックスミニ値（マキシミン，maximin）
●ミニマックス戦略とミニマックス値（minimax）
［例］例3.1, 練習問題3.1
●ゲーム値（ゲームの値，Game Value）
［ファクト4.1］ゲームが支配可解であれば，
(1) ゲーム値は定まり，
(2) 弱被支配戦略の繰り返し削除によって残る戦略の組は，P1のマックスミニ戦略とP2のミニマックス戦略の組に一致する。
３ 混合戦略とミニマックス定理
■Q. 例4.1は，支配可解ではない。しかも，マックスミニ値とミニマックス値が異なる。こういう場合は？
●純戦略（純粋戦略，Pure Strategy）vs. 混合戦略（Mixed Strategy）
●期待利得，期待損失
＜例4.1＞
・P1の混合戦略：(p, 1-p)
・P1の期待利得
P2が U を選択したとき：p・(-1) + (1-p)・2 ＝ 2 - 3p
P2が D を選択したとき：p・4 + (1-p)・0 ＝ 4p
・マックスミニ値の導出
p = 2/7，P1の期待利得=8/7
・P2の混合戦略：(q, 1-q)
・P2の期待損失
P1が L を選択したとき：q・(-1) + (1-q)・4 ＝ 4 - 5q
P2が R を選択したとき：q・2 + (1-q)・0 ＝ 2q
・ミニマックス値の導出
q = 4/7，P2の期待損失=8/7
［定理4.1］ミニマックス定理
有限2人ゼロ和ゲームにおいて混合拡大すれば，マックスミニ値とミニマックス値は一致する。
